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By Eben Matlis

ISBN-10: 0387063277

ISBN-13: 9780387063270

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M-1} oder die Abbildung Xf-tj(X) := (x 1024 +2)modm :{O,1, ... ,m-1}-+{O,1, ... ,m-1} verwenden. Mit der zuletzt genannten Abbildung fanden 1981 R. P. Brent und J. M. Pollard die Primzerlegung der Zahl 228 + 1 (vgl. [13]). I Grundbegriffe 42 (3) Das in diesem Abschnitt behandelte Faktorisierungsverfahren wurde 1975 von J. M. Pollard in [84 J veroffentlicht. 4, Koblitz [57], Kap. V, §2, oder Riesel [90], Kap. VI, und insbesondere Bach [9J. 22) Fermat-Zahlen: Die Zahl, deren Primzerlegung Brent und Pollard mit Hilfe der rho-Methode gefunden haben, ist eine der Fermat-Zahlen.

Flir groBere Zahlen a ist prim daher nicht geeignet. Man beachte aber, daB die Funktion prim mehr tut als notig: Sie findet zu einer natlirlichen Zahl a > 1 in jedem Fall einen Primteiler von a. 5) Satz: Es gibt unendlicb viele Primzablen. Beweis (Euklid): Es sei n E No, und es seien PI, P2, ... , Pn paarweise verschiedene Primzahlen. Dann ist a := 1 + PIP2 ... Pn eine natlirliche Zahl mit a > 1, und daher gibt es einen Primteiler P von a. Flir jedes i E {I, 2, ... ,n} gilt a mod Pi = 1 und daher Pi f a.

2) Nicht fur jede Primzahl p ist M(p) eine Primzahl: Es ist M(11) = 23·89. 1998 gefunden. Seit dem Jahr 1588, in dem P. A. 2216193 - 1 den Rekord als groBte Primzahl hielt. DaB man gerade groBe Mersenne-Zahlen darauf untersucht, ob sie Primzahlen sind, liegt daran, daB es dafur einen einfachen Test gibt, niimlich den Test von E. Lucas (1878) und D. H. Lehmer (1930/35): 1st (ajk:1 die Folge mit al := 4 und aj+1 := a~ - 2 fUr jedes j E N, so ist fur eine Primzahl p :2: 3 die Mersenne-Zahl M(p) genau dann eine Primzahl, wenn ap-l durch M(p) teilbar ist.

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1-Dimensional Cohen-Macaulay Rings by Eben Matlis


by James
4.3

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