New PDF release: Algebra

By Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

ISBN-10: 3540653600

ISBN-13: 9783540653608

ISBN-10: 366205647X

ISBN-13: 9783662056479

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Die vorliegende ?berarbeitete und erweiterte dritte Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten und symmetrische Funktionen werden angesprochen. Neu hinzugekommen sind zwei Abschnitte ?ber Kummer-Theorie, einschlie?lich einer Einf?hrung in den Kalk?l der Witt-Vektoren, und eine Herleitung der Formeln zur Aufl?sung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades. Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das sicherlich bald jedem Algebrastudenten unentbehrlich sein wird.

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Example text

Sei K ein Körper und K[X, Y] = K[X][Y] der Polynomring über K in zwei Variablen X und Y. Im Restklassenring R = K[X, Y]/(XY2) bezeichne X bzw. Y jeweils die Restklasse von X bzw. Y. Y aus R nicht assoziiert sind, daß die von ihnen in R erzeugten Hauptideale aber übereinstimmen. Hinweis: Man betrachte das Ideal aller Elemente 7 E R mit 7· X = 0 bzw. das Ideal aller Elemente f E K[X, Y] mit f XE (Xy2). 8. Sei R ein Ring. Man zeige, daß U:/liX i E R[X] ; al = O} ein Unterring von R[X] ist und daß dieser isomorph zu R[X] [Y]/(X2 - y3) ist.

Mit dieser Überlegung ist die Implikation von (i) nach (ii) unmittelbar klar. Die Umkehrung folgt mit Lemma 9, da eine Zerlegung in Primelemente nach Bemerkung 5 insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente ist. Wir haben gerade gesehen, daß unter der Bedingung (i) jedes irreduzible Element prim ist, daß also irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen prim sind. Die Umkehrung hierzu ergibt sich wiederum aus Bemerkung 5. 0 Die Aussage von Satz 7 können wir nun neu formulieren: Korollar 11.

Gilt ker

0, und es ist H isomorph zu Z/mZ. Also ist m die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft am = 1, und man sieht, daß Haus genau den (paarweise verschiedenen) Elementen 1 = aO, a1, .. , ,am - 1 besteht. Insbesondere folgt ord a = m. Satz 6. Sei G endliche Gruppe, a E G. Dann ist orda ein Teiler von ordG. 2/3 auf die von a erzeugte zyklische Untergruppe von G an. Korollar 7. Für eine Gruppe G sei p := ordG eine Primzahl.

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Algebra by Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)


by Steven
4.3

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