Download PDF by Vijay V. Vazirani: Algorithmes d'approximation (Collection IRIS)

By Vijay V. Vazirani

ISBN-10: 228700677X

ISBN-13: 9782287006777

Le champ des algorithmes d’approximation est aujourd’hui l’un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de l. a. derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d’?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? l. a. beaut? des r?sultats. Ce livre disclose ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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3 4 5 On dit qu’un mot v est un facteur d’un mot u, s’il existe deux mots x et y tels que u = xvy, c’est-` a-dire si u contient une occurrence de v. On dit alors que u est un surfacteur de v. Shortest superstring, en anglais. Overlap, en anglais. 2. Couverture par ensembles 21 Nous allons construire une 2Hn -approximation en utilisant l’algorithme glouton pour la couverture par sommets. L’instance de la couverture par sommets, que nous noterons S, est d´efinie ainsi. Pour chaque si , sj ∈ S et k > 0, tels que le suffixe de longueur k de si est un pr´efixe de sj , notons σijk le mot obtenu en recouvrant les suffixe et pr´efixe de longueur k de si et sj respectivement : ✛ k ✲ si sj σijk Notons M l’ensemble des mots σijk , pour tous les choix valides de i, j, k.

4, voyons A comme l’union de k coupes. Soient V1 , V2 , . . , Vk , les k composantes connexes engendr´ees par le retrait de A dans G, et notons Ai la coupe s´eparant Vi du reste du graphe. Comme A = A1 ∪ · · · ∪ Ak et que chaque arˆete de A appartient a` deux de ces coupes : k w(Ai ) = 2w(A). i=1 Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons consid´erer que Ak est la plus lourde de ces coupes. Il s’agit maintenant de d´emontrer qu’il existe k − 1 coupes associ´ees `a des arˆetes de T dont le poids est inf´erieur aux coupes A1 , A2 , .

Un arbre de Gomory-Hu encode donc succinctement des coupes de poids minimum s´eparant chaque paire de sommets de G. En effet, une coupe de poids minimum entre u et v dans T est donn´ee par la coupe associ´ee dans G a une arˆete e de poids minimum sur l’unique chemin entre u et v dans T . Les ` propri´et´es ci-dessus garantissent que la coupe associ´ee est bien une coupe de poids minimum entre u et v, ce poids ´etant w (e). Ainsi, nous n’avons besoin que de n − 1 coupes, encod´ees par les arˆetes d’un arbre de Gomory-Hu, pour trouver une coupe de poids minimum s´eparant chacune des n2 paires de sommets de G.

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by Christopher
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