New PDF release: Allgemeine Algebra und Anwendungen

By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

ISBN-10: 3519020300

ISBN-13: 9783519020301

ISBN-10: 3663098133

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Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend struggle, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre conflict, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, was once diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem pattern zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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An creation to Nonassociative Algebras Richard D. Schafer

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Ist eine Teilhalbordnung einer Halbordnung e ine Kette, so wird sie 56 Te il ket t e oder Ke tte von H genannt. B . {~,{ ~ }, { a, ß, Y } } eine Kette. Man kann die Menge K aller Ke t t e n einer Ha lbordnung dadurch "or dne n" , daß man für zwei Ketten K1 und K2 aus K def iniert K1 s K2, falls die Elemente von K1 eine Teilmenge der Elemente von K2 sind. Es i s t leicht zu sehen, daß dadurch K zu einer Halbordnung wird . Die ma ximalen Elemente i n heißen ma x i ma le (T eil-)Ke tt e n vo n H.

Da ß die Abbildung h(T ) = a i ein Homomorphismus i s t : Er setze n wir näml ich i n den Operationstafeln von R jedes a i an jeder Stelle. wo es vor kommt. durch T . so erhalten wir d ie Tafeln von l/ 0 4· Ist h die Abbildung von P( {a. ß. y }) i n P( {a. ß}). y }) = {c , ß}. h( {ß. y }) = {ß}, h( {y}) '= 0 und h(A) = A für alle A,;;;{ a. ß}, dann ka nn man leicht (jedoch mit ein wenig Rechenmühe) nachprüfen. daß h ein Homomorphismus der Booleschen Algebra P({ a. ß, y}) in die Boolesche Algebra P({ a.

KONGRUENZRELATIONEN UND HOMOMORPHISMEN Ist K = {Ci li EI}, I eine beliebige Indexmenge, eine Klasseneinteilung einer Menge M, so i s t jede Klasse Ci aus K eindeutig durch jedes ihrer Elemente festgelegt. Es ist daher gerechtfertigt, die Klasse von K, in der e in Eleme'nt a E M liegt, mit a zu bezeichnen . Ein System {ai l i E I } von Elementen aus M, sodaß i n jeder Klasse Ci E K genau e in Element dieses Systems liegt, heißt ein Vert rete r - oder Repr~sent a ntensystem der 40 Klasseneinteilung K.

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Allgemeine Algebra und Anwendungen by Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller


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